同志社大学
2014年 理工学部 第4問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において,曲線$C_1:y=\log x+\log t$と曲線$C_2:y=ax^2$を考える.ただし$a$と$t$は正の実数である.曲線$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$を持ち,また,$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するものとする.次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする.$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け.
(2) $x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする.また,$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め,また,$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ.
(4) $t$が$(3)$で求めた値のとき,曲線$C_1$,$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする.$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け.
(2) $x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする.また,$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め,また,$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ.
(4) $t$が$(3)$で求めた値のとき,曲線$C_1$,$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ.
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