獨協医科大学
2014年 医学部 第3問
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空間に,同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
を満たしている.$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし,$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる.$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと,$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は
\[ \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \sqrt{\fbox{キ}p^2-\fbox{ク}} \]
と表される.
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき \[ p^2=\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}} \] である.またこのとき,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると,四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は \[ \frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セソ}} \] である.
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき \[ p^2=\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}} \] である.またこのとき,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると,四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は \[ \frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セソ}} \] である.
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