早稲田大学
2013年 基幹理工・創造理工・先進理工 第2問
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![複素数z=1+2√6iと自然数n=1,2,3,・・・について,複素数z^nを実数a_n,b_nを用いてz^n=a_n+b_niと表す.次の問に答えよ.(1){a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n}(n=1,2,3,・・・)であることを示せ.(2)すべてのnについてa_{n+2}=pa_{n+1}+qa_nが成り立つ定数p,qを求めよ.(3)どんなnについてもa_nは5の整数倍でないことを示せ.(4)z^n(n=1,2,3,・・・)は実数でないことを示せ.](./thumb/304/14/2013_2.png)
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複素数$z=1+2 \sqrt{6} \, i$と自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,複素数$z^n$を実数$a_n,\ b_n$を用いて
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す.次の問に答えよ.
(1) ${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ.
(2) すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ.
(3) どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ.
(4) $z^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ.
(1) ${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ.
(2) すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ.
(3) どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ.
(4) $z^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ.
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