宇都宮大学
2012年 理系 第5問
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$A^2=O$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について,次の問いに答えよ.ただし,$O$は零行列である.
(1) $c \neq 0$のとき,$b$を$a$と$c$を用いて表せ.
(2) $c=0$のとき,$a$と$d$の値を求めよ.
(3) $c=0$のとき,$X_1=E,\ X_{n+1}=AX_n+B \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定める.$n \geqq 3$のとき \[ X_1+X_2+\cdots +X_n \] を求めよ.ただし,$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$である.
(1) $c \neq 0$のとき,$b$を$a$と$c$を用いて表せ.
(2) $c=0$のとき,$a$と$d$の値を求めよ.
(3) $c=0$のとき,$X_1=E,\ X_{n+1}=AX_n+B \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定める.$n \geqq 3$のとき \[ X_1+X_2+\cdots +X_n \] を求めよ.ただし,$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$である.
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