$s$を$-1 \leqq s \leqq 1$を満たす実数とする．$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{a_s},\ \overrightarrow{b_s},\ \overrightarrow{c_s}$を \[ \overrightarrow{a_s}=\left( s,\ \sqrt{1-s^2} \right),\quad \overrightarrow{b_s}=\left( \sqrt{1-s^2},\ -s \right),\quad \overrightarrow{c_s}=\left( s \sqrt{1+s^2},\ \sqrt{1-s^4} \right) \] と定める．$t$を実数とし，$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}+\frac{t}{|\overrightarrow{b_s}|} \overrightarrow{b_s}=(f_t(s),\ g_t(s))$
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}-\frac{t}{|\overrightarrow{c_s}|} \overrightarrow{c_s}=(h_t(s),\ k_t(s))$
により定める．さらに，$s$を媒介変数とする$2$つの曲線
$\displaystyle C_t:x=f_t(s),\ y=g_t(s) \quad \left( -\frac{1}{2} \leqq s \leqq 1 \right),$
$K_t:x=h_t(s),\ y=k_t(s) \quad (-1 \leqq s \leqq 1)$
を考える．次の各問いに答えよ．
(1) $f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{b_s}$のなす角，および，$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{c_s}$のなす角を求めよ．
(3) ${f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2$を$t$のみを用いて表せ．
(4) $t$が$0$から$\sqrt{3}$まで動くとき，$C_t$が通過する部分を$D$とする．$D$を図示せよ．
(5) $(4)$で定めた$D$の面積を求めよ． $(4)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ． $K_{\frac{1}{2}},\ K_1,\ K_{\frac{3}{2}}$を図示せよ． $t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq |t-1| \leqq 1$を満たす範囲を動くとき，$K_t$が通過する部分の面積を求めよ．