東京理科大学
2015年 理（数理情報科・応用物理・応用化学） 第2問
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各自然数$n$に対し，$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．
(1) $X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2) $X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3) $V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4) $X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．
(1) $X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2) $X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3) $V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4) $X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．
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