東京理科大学
2015年 理工（物理・応用生物科・経営工） 第2問
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$a>0$を定数とし，座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ 0)$から放物線$C:y=ax^2+2a$に$2$本の接線$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$を引く．ここで$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$は接点で，$\mathrm{Q}_1$の$x$座標$q_1$は$\mathrm{Q}_2$の$x$座標$q_2$より小さいとする．
(1) $q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2) 直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3) $S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4) $\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1) $q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2) 直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3) $S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4) $\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
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