$\fbox{}$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．
(1) $a$を正の定数とし，関数 \[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \ \ \text{および} \ \ g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(ⅰ) $a=\fbox{ア}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \times \log \fbox{エ}$である．
(ⅱ) $a=\sqrt{\fbox{オ}}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2) $1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め， \[ \left\{ \begin{array}{ll} q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\ q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\ q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1 \end{array} \right. \] $y_k$を次のように$r$によって定める． \[ \left\{ \begin{array}{ll} r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\ r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\ r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1 \end{array} \right. \] ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(ⅰ) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}$である．
(ⅱ) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり， \[ p_k=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \cdot \left( -\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \right)^k+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] である．
(3) $1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(ⅰ) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ウエ}}}{\fbox{オ}}$である．
(ⅱ) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \times \sqrt{\fbox{ケコ}}$である．
(ⅲ) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．