以下の問いに答えよ．（$n$は自然数とする．）
(1) $x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分 \[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \] を求めよ．
(2) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \] を求めよ．
(3) 以下の問いに答えよ．
(ⅰ) 実数$x \geqq 0$に対して \[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \] を示せ．
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \] により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．