東京理科大学
2015年 理工（数・建築・電気電子情報工） 第2問
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$t$を$0<t<1$を満たす実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-x^2+(1+t^2)x-t^2 \]
と定める．座標平面において，原点$\mathrm{O}$から放物線$y=f(x)$へ引いた接線のうち，接点の$x$座標が正のものを考える．その接点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とおく．
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2) 放物線$y=f(x)$の$x \leqq p$の部分，$x$軸，直線$x=p$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3) 線分$\mathrm{OP}$，$x$軸，直線$x=p$で囲まれる図形の面積を$S_2$とし，$(2)$の$S_1$に対して$S=S_2-S_1$とおく．$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき$S$を最大にする$t$の値を求めよ．
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2) 放物線$y=f(x)$の$x \leqq p$の部分，$x$軸，直線$x=p$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3) 線分$\mathrm{OP}$，$x$軸，直線$x=p$で囲まれる図形の面積を$S_2$とし，$(2)$の$S_1$に対して$S=S_2-S_1$とおく．$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき$S$を最大にする$t$の値を求めよ．
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