東京理科大学
2015年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第2問
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$p$を正の定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-5x^p \log x \quad (x>0) \]
と定める．$a$は$f^\prime(a)=0$を満たす正の実数とする．ここで，$\log x$は自然対数であり，$e$は自然対数の底を表す．また，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．
(1) $a$の値を$p$を用いて表せ．
(2) 不定積分$\int f(x) \, dx$を求め$p$を用いて表せ．
(3) 直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a \leqq x \leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき， \[ \lim_{p \to +0}S \] の値を求めよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{u \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}=0$であることを用いてよい．
(1) $a$の値を$p$を用いて表せ．
(2) 不定積分$\int f(x) \, dx$を求め$p$を用いて表せ．
(3) 直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a \leqq x \leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき， \[ \lim_{p \to +0}S \] の値を求めよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{u \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}=0$であることを用いてよい．
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