東京理科大学
2015年 薬学部（生命創薬科） 第5問
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![次の問いに答えよ．(1)αを実数として，sinαが8{(sinα)}^3-6sinα-1=0をみたすとき，sin(3α)=-\frac{[ア]}{[イ]}となる．(2)3次方程式8x^3-6x-1=0の異なる3つの解はsin(\frac{[ウ]}{[エ][オ]}π),sin(\frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}π),sin(\frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]}π)である．ただし，0≦\frac{[ウ]}{[エ][オ]}＜\frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}＜\frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]}≦5/3とする．](./thumb/269/264/2015_5.png)
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次の問いに答えよ．
(1) $\alpha$を実数として，$\sin \alpha$が$8{(\sin \alpha)}^3-6 \sin \alpha-1=0$をみたすとき， \[ \sin (3 \alpha)=-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \] となる．
(2) $3$次方程式$8x^3-6x-1=0$の異なる$3$つの解は \[ \sin \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{\fbox{カ}\fbox{キ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}\pi \right) \] である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}<\frac{\fbox{カ}\fbox{キ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}<\frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}} \leqq \frac{5}{3}$とする．
(1) $\alpha$を実数として，$\sin \alpha$が$8{(\sin \alpha)}^3-6 \sin \alpha-1=0$をみたすとき， \[ \sin (3 \alpha)=-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \] となる．
(2) $3$次方程式$8x^3-6x-1=0$の異なる$3$つの解は \[ \sin \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{\fbox{カ}\fbox{キ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}\pi \right) \] である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}<\frac{\fbox{カ}\fbox{キ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}<\frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}} \leqq \frac{5}{3}$とする．
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