次の問いに答えよ．
(1) $a,\ b,\ c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．
(ⅰ) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ア}\fbox{イ}$である．
(ⅱ) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}$である．
(ⅲ) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}$である．
(2) $\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．
(ⅰ) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は \[ \fbox{ア}<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<\fbox{イ} \] である．
(ⅱ) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$のとき， \[ \cos A=\frac{\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}\fbox{オ}}}{\fbox{カ}} \] であり， \[ \mathrm{BC}=-\fbox{キ}+\sqrt{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \] である．
(3) 座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．
(ⅰ) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは， \[ m<-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad m>\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] のときである．
以下，放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは \[ m>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] のときである．
(ⅲ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<m \leqq \frac{\fbox{ケ}\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，
$\displaystyle m=\frac{\fbox{シ}\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \times \sqrt{\fbox{ツ}}$をとる．