東京理科大学
2012年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第3問
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座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$が，媒介変数$\theta$により
\[ p=1+2 \cos \theta,\quad q=1+\sin \theta \quad (-\pi<\theta \leqq \pi) \]
で与えられている．$a$を非負の定数とするとき，点$\mathrm{P}$から，原点$\mathrm{O}$と点$(1,\ a)$を通る直線に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$の座標を$(u,\ v)$とする．点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たす範囲にあるとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\theta$と$q$の値の範囲を求めよ．
(2) $u$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3) $N=\sqrt{u^2+(2+a^2)v^2}$とおく．$N$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(4) 各$a$に対して，点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たすように動くとき，$(3)$で求めた$N$の最大値を$M(a)$により表す．
(ⅰ) $M(0)$を求めよ．
(ⅱ) $a>0$のとき，$M(a)$を求めよ．
(1) $\theta$と$q$の値の範囲を求めよ．
(2) $u$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3) $N=\sqrt{u^2+(2+a^2)v^2}$とおく．$N$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(4) 各$a$に対して，点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たすように動くとき，$(3)$で求めた$N$の最大値を$M(a)$により表す．
(ⅰ) $M(0)$を求めよ．
(ⅱ) $a>0$のとき，$M(a)$を求めよ．
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