東京理科大学
2012年 理工（情報科・工業化・機械工・土木工） 第2問
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$r$を$0<r<1$を満たす実数として，次のように行列とベクトルを定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
r & 0 \\
2r-1 & 1-r
\end{array} \right) ,\quad P=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right) \]
またベクトル$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ Q_1=\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array} \right)=Q,\quad Q_n=AQ_{n-1}+P \quad (n \geqq 2) \]
として定める．
(1) $AP=\alpha P$，$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$，$\beta$を求めよ．
(2) $A^nP,\ A^nQ$を求めよ．
(3) $Q_n=\left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)$を求めよ．
(4) 座標平面において，各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$，座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする．さらに，台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし， \[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \] とする．
(ⅰ) $S$を求めよ．
(ⅱ) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．
(1) $AP=\alpha P$，$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$，$\beta$を求めよ．
(2) $A^nP,\ A^nQ$を求めよ．
(3) $Q_n=\left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)$を求めよ．
(4) 座標平面において，各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$，座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする．さらに，台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし， \[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \] とする．
(ⅰ) $S$を求めよ．
(ⅱ) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．
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