記号$(0,\ \infty)$は，正の実数全体からなる区間を表すものとする．$1$より大きい実数$r$と，区間$(0,\ \infty)$で連続な関数$f(x)$に対する，定積分 \[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx \quad \text{と} \quad \int_1^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \] について考える．
(1) $r$を$1$より大きい実数とする．
(ⅰ) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(ⅱ) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(2) 次の問いに答えよ．
(ⅰ) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式 \[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=a \int_1^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \] が成立するような，定数$a$の値を求めよ．
(ⅱ) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式 \[ \int_1^{r^3} f \left( x^3+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx=b \int_{r^3}^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \] が成立するような，定数$b$の値を求めよ．
(ⅲ) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式 \[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=c \int_{1}^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \] が成立するような，定数$c$の値を求めよ．