次の問いに答えよ．
(1) 実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点 \[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \] を考える．
(ⅰ) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$\fbox{ア}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \pi$と$\displaystyle \frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \pi$である．
(ⅱ) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\fbox{シ}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \pi$である．
(2) 零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．
(ⅰ) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$\fbox{ソ}$または$\fbox{タ}$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=\fbox{チ}$，$ad-bc=\fbox{ツ}$となる．特に，$b=c>0$とすると， \[ A=\left( \begin{array}{cc} a & \sqrt{(\fbox{テ}-\fbox{ト}a)a} \\ \sqrt{(\fbox{ナ}-\fbox{ニ}a)a} & \fbox{ヌ}-\fbox{ネ}a \end{array} \right) \] となる．
(ⅱ) 自然数$n$に対し， \[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=\fbox{ノ}^n-\fbox{ハ}^n \] であるから， \[ (A+3E)^n=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} (\fbox{ヘ}^n-\fbox{ホ}^n)A+\fbox{マ}^n E \] となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．