$a$を実数とし，関数$f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)x$について考える．方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする．$f(0)=0$であることに注意せよ．
(1) $k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2) $k=2$となるような$a$の値を求めよ．
(3) $k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(4) $a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする．方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(ⅰ) $\alpha<0$であることを示せ．
(ⅱ) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(ⅲ) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ． $a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく．$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と，最大値を与える$a$の値を求めよ．