東京理科大学
2012年 理（数理情報科） 第1問
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![[]内のカタカナにあてはまる0から9までの数字を求めよ．(1)kを自然数とすると，不等式k＞\frac{√k+\sqrt{k-1}}{2}が成立する．この不等式の右辺の逆数は[ア](√k-\sqrt{k-[イ]})であるから，不等式1/k＜[ア](√k-\sqrt{k-[イ]})を得る．この不等式がすべての自然数kに対して成立することより，\lim_{n→∞}1/nΣ_{k=1}^n1/k=[ウ]であることがわかる．(2)自然数nに対し，a_n=Σ_{m=1}^{∞}\frac{1}{m(m+n+1)},s_n=Σ_{k=1}^n1/kと定める．(i)Σ_{n=2}^{∞}\frac{1}{n(n+1)}を求めよ．(ii)Σ_{n=1}^{∞}(1/n-\frac{1}{n+1})s_{n+1}を求めよ．（ヒント：n≧2であるような各自然数nに対してs_{n+1}-s_nを考えることにより，(i)の結果が使える形に変形せよ．）(iii)nを自然数とする．また，pは自然数で，等式Σ_{m=1}^{∞}(1/m-\frac{1}{m+n+1})=s_pが成立しているとする．このとき，pをnの1次式の形に表せ．\mon[\tokeishi]nを自然数とし，pは(iii)における通りであるとする．また，qは自然数で，等式a_n=\frac{s_p}{q}が成立しているとする．このとき，qをnの1次式の形に表せ．\mon[\tokeigo]Σ_{n=1}^{∞}\frac{a_n}{n}を求めよ．](./thumb/269/256/2012_1.png)
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$\fbox{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1) $k$を自然数とすると，不等式 \[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \] が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle \fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right)$であるから，不等式 \[ \frac{1}{k}<\fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right) \] を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより， \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\fbox{ウ} \] であることがわかる．
(2) 自然数$n$に対し， \[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \] と定める．
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．
（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$\tokeiichi$の結果が使える形に変形せよ．）
(ⅲ) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式 \[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \] が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ． [$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$\tokeisan$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式 \[ a_n=\frac{s_p}{q} \] が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ． [$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．
(1) $k$を自然数とすると，不等式 \[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \] が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle \fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right)$であるから，不等式 \[ \frac{1}{k}<\fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right) \] を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより， \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\fbox{ウ} \] であることがわかる．
(2) 自然数$n$に対し， \[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \] と定める．
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．
（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$\tokeiichi$の結果が使える形に変形せよ．）
(ⅲ) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式 \[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \] が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ． [$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$\tokeisan$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式 \[ a_n=\frac{s_p}{q} \] が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ． [$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．
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