次の問いに答えよ．
(1) $1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
(ⅰ) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると， \[ p_4=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad p_5=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\quad p_7=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}\fbox{キ}} \] である．
(ⅱ) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は \[ \frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}}{\fbox{コ}\fbox{サ}} \] である．
(2) $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式 \[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \] を考える．
(ⅰ) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは， \[ \fbox{ア}\fbox{イ}^\circ<\theta \leqq \fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}^\circ \] のときである．
以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．
(ⅱ) 無限等比級数 \[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \] が収束するのは， \[ \fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}^\circ<\theta \leqq \fbox{ケ}\fbox{コ}\fbox{サ}^\circ \] のときである．
(ⅲ) 無限等比級数 \[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \] が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは， \[ \theta=\fbox{シ}\fbox{ス}\fbox{セ}^\circ \] のときである．
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．
(ⅰ) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=\fbox{ア}$である．
以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．
(ⅱ) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}\fbox{エ}} \times \sqrt{\fbox{オ}} \] である．
(ⅲ) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき， \[ \mathrm{OP}=\frac{\fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}} \] である．このとき， \[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{\fbox{コ}+\fbox{サ} \sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}} \] である．