$\displaystyle a=\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle b=\frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle c=\frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$，$\displaystyle d=\frac{1}{1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$とおく．
(1) $\displaystyle abcd=-\frac{1}{\fbox{ア}\fbox{イ}}$である．
(2) $abc,\ abd,\ acd,\ bcd$の最小値は \[ \frac{-\fbox{ウ}-\fbox{エ} \sqrt{3}-\fbox{オ} \sqrt{5}-\fbox{カ} \sqrt{15}}{\fbox{ア}\fbox{イ}} \] である．
(3) $ab+cd,\ ac+bd,\ ad+bc$の最小値は \[ -\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ア}\fbox{イ}} \] である．
(4) $a+b,\ a+c,\ a+d,\ b+c,\ b+d,\ c+d$の最小値は \[ \frac{\fbox{ク}\fbox{ケ}-\fbox{コ} \sqrt{3}-\fbox{サ} \sqrt{5}-\fbox{シ} \sqrt{15}}{\fbox{ア}\fbox{イ}} \] である．
(5) $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ \[ =\frac{\fbox{ア}\fbox{イ}x^4-\fbox{ス}\fbox{セ}x^3+\fbox{ソ}\fbox{タ}x^2+\fbox{チ}x-1}{\fbox{ア}\fbox{イ}} \] である．