自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を \[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \] で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．
$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．
(1) 関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2) $t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3) $S_1(t)$と$S_n(t) \ \ (n \geqq 2)$を求めよ．
(4) 各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t \ \ (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．