$\{\theta_k\}$を初項$0$，交差$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の等差数列，$\{r_k\}$を初項$1$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，自然数$k$に対して，行列$A_k$，$B_k$を \[ A_k=\left( \begin{array}{cc} r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\ r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k \end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc} r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\ -r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k \end{array} \right) \] とおく．$C_k=A_kA_{k+1}$，$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $C_k$を$k$を用いて表せ．
(2) $D_k$を$k$を用いて表せ．
(3) $m$を自然数とするとき，次の行列の和 \[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \] を求めよ．
(4) $C_k^2D_k^2$を求めよ．
(5) 次の行列の和 \[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \] を$\left( \begin{array}{cc} x_n & y_n \\ z_n & w_n \end{array} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ．
ただし，必要ならば，実数$a \ \ (a>1)$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい．