東京理科大学
2012年 基礎工 第3問
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![原点をOとする座標平面上に2点A，Bがあり，2つのベクトルベクトルOA,ベクトルOBが|ベクトルOA|=2√3,|ベクトルOB|=\sqrt{15},ベクトルOA・ベクトルOB=8を満たしているとする．ここで，|ベクトルOA|,|ベクトルOB|はそれぞれベクトルOA,ベクトルOBの大きさを表し，ベクトルOA・ベクトルOBはベクトルOAとベクトルOBの内積を表すものとする．(1)ベクトルOAとベクトルOBのなす角をθとおくとcosθ=\frac{[ア]}{[イウ]}\sqrt{[エ]}となる．\\また，△OABの面積は\sqrt{[オカ]}である．(2)線分AB上の点CをベクトルOCとベクトルABが垂直となるようにとる．このとき，点Cは線分ABを[キ]:[ク]に内分する点である．](./thumb/269/272/2012_3.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする．ここで，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと \[ \cos \theta = \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}} \sqrt{\fbox{エ}} \] となる．\\ \quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{\fbox{オカ}}$である．
(2) 線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$\fbox{キ}:\fbox{ク}$に内分する点である．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと \[ \cos \theta = \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}} \sqrt{\fbox{エ}} \] となる．\\ \quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{\fbox{オカ}}$である．
(2) 線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$\fbox{キ}:\fbox{ク}$に内分する点である．
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