$k>0$として，座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる．また，点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，図のように，曲線$C$，直線$\ell_2$，$x$軸，$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする．ただし，$e$は自然対数の底である． \imgc{269_268_2012_1}
(1) 点$\mathrm{P}$の座標と，直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2) 図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(3) $k$が$k>0$を動くとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，それを与える$k$の値を求めよ．