$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$(1,\ 1)$を点$(5,\ 5)$に，点$(1,\ -7)$を点$(-3,\ 21)$に移す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}$の像を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$に対して内積の条件 \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0 \hfill (\ast) \] を考える．
(1) $f$を表す行列を求めよ．
(2) 条件$(\ast)$を満たす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$2$直線となる．この$2$直線の方程式を求めよ．
実数$a \geqq 0$に対して，
「点$(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周上の点$\mathrm{P}$で，条件$(\ast)$を満たすものがちょうど$2$つある」 \hfill $(\ast\ast)$
とする．この$2$点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とするとき，$i=1,\ 2$に対して，$\mathrm{P}_i$の$f$による像を$\mathrm{Q}_i$とし，$\triangle \mathrm{OP}_i \mathrm{Q}_i$の面積を$S_i$とする．
(3) 上の条件$(\ast\ast)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(4) $S_i$を$y_i$を用いて表せ．また，和$S_1+S_2$の値を$a$を用いて表せ．