$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{D}(1,\ 1,\ -2)$について，次の各問いに答えよ．また，$0<m<1$とする．
(1) $\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}_m$とし，$\mathrm{OP}_m$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{Q}_m$とする．このとき，$\mathrm{Q}_{\frac{1}{5}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}\fbox{ル}},\ \frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}\fbox{ワ}},\ \fbox{ヲ} \right)$である．
(2) $\mathrm{OC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}_m$，$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{R}_m \mathrm{M}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{S}_m$とすると，$\mathrm{S}_{\frac{1}{2}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ン}\fbox{あ}}{\fbox{い}\fbox{う}},\ \frac{\fbox{え}}{\fbox{お}\fbox{か}},\ \frac{\fbox{き}}{\fbox{く}} \right)$である．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$について， \[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{m+1}(-\fbox{け}m^2+\fbox{こ}m-\fbox{さ}) \] である．したがって，この$2$つのベクトルは垂直にはなりえない．
(4) $\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるような$m$の値は，$\displaystyle m=\frac{\fbox{し}}{\fbox{す}}$である．
(5) $\displaystyle \frac{m+1}{m} \times \mathrm{Q}_m \mathrm{S}_m$が最小となるのは$\displaystyle m=\frac{\fbox{せ}\fbox{そ}}{\fbox{た}\fbox{ち}}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{つ}\fbox{て}}{\fbox{と}\fbox{な}}}$である．