東京理科大学
2012年 薬学部（生命創薬科） 第3問
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![3次方程式x^3-6x^2+ax+a=0が異なる3つの実数解u,v,wをもち，(u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0が成り立っているとする．ただしaは実数とする．このときu,v,wの間に成り立つ関係式とaの値は次の3通りである．(1)w=[ノ],u+v=[ハ],a=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}(2)v=[ホ],u+w=[マ],a=\frac{[ミム]}{[メ]}(3)u=[モ],v+w=[ヤ],a=\frac{[ユ]}{[ヨ]}ただし，必要ならば，一般に3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の3つの解をα，β，γとすると，α+β+γ=-b/a,αβ+βγ+γα=c/a,αβγ=-d/aが成り立つことを用いてもよい．](./thumb/269/264/2012_3.png)
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$3$次方程式$x^3-6x^2+ax+a=0$が異なる$3$つの実数解$u,\ v,\ w$をもち，
\[ (u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0 \]
が成り立っているとする．ただし$a$は実数とする．このとき$u,\ v,\ w$の間に成り立つ関係式と$a$の値は次の$3$通りである．
(1) $\displaystyle w=\fbox{ノ},\ u+v=\fbox{ハ},\ a=\frac{\fbox{ヒフ}}{\fbox{ヘ}}$
(2) $\displaystyle v=\fbox{ホ},\ u+w=\fbox{マ},\ a=\frac{\fbox{ミム}}{\fbox{メ}}$
(3) $\displaystyle u=\fbox{モ},\ v+w=\fbox{ヤ},\ a=\frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}}$
ただし，必要ならば，一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$とすると， \[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \] が成り立つことを用いてもよい．
(1) $\displaystyle w=\fbox{ノ},\ u+v=\fbox{ハ},\ a=\frac{\fbox{ヒフ}}{\fbox{ヘ}}$
(2) $\displaystyle v=\fbox{ホ},\ u+w=\fbox{マ},\ a=\frac{\fbox{ミム}}{\fbox{メ}}$
(3) $\displaystyle u=\fbox{モ},\ v+w=\fbox{ヤ},\ a=\frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}}$
ただし，必要ならば，一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$とすると， \[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \] が成り立つことを用いてもよい．
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