東京農工大学
2010年 理系 第3問
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![座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)がx=2cost,y=√3sintで与えられているとする.このとき,次の問いに答えよ.(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルvと速さ|ベクトルv|を求めよ.(2)f(t)=-2cost+d/dt|ベクトルv|^2とおく.0≦t≦2πにおけるf(t)の最大値,最小値を求め,そのときのtの値を求めよ.(3)(2)の関数f(t)について定積分I=∫_0^{π/2}\frac{f(t)}{|ベクトルv|^2}dtを求めよ.](./thumb/186/2349/2010_3.png)
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座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ.
(2) $\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく.$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値,最小値を求め,そのときの$t$の値を求めよ.
(3) (2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ.
(1) 時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ.
(2) $\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく.$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値,最小値を求め,そのときの$t$の値を求めよ.
(3) (2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ.
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