高知工科大学
2011年 文系 第2問
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![△ABCの頂点を通らない直線ℓが,辺AC,辺BCのB方向への延長線,および辺ABと,それぞれ点P,Q,Rで交わり, AP : PC =α:1, CQ : QB =β:1であるとする.ベクトルCA=ベクトルa,ベクトルCB=ベクトルbとして,次の各問に答えよ.(1)ベクトルCRをα,β,ベクトルa,ベクトルbで表し,等式\frac{ AP }{ PC }・\frac{ CQ }{ QB }・\frac{ BR }{ RA }=1を証明せよ.(2)△QRB,△BCR,△APRの面積比が1:2:3のとき,△APRと△CPRの面積比を求めよ.(3)(2)のとき,直線CRと直線AQの交点をDとする.線分の長さの比 AD : QD を求めよ.](./thumb/676/231/2011_2.png)
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$\triangle$ABCの頂点を通らない直線$\ell$が,辺AC,辺BCのB方向への延長線,および辺ABと,それぞれ点P,Q,Rで交わり,
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする.$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として,次の各問に答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し,等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ.
(2) $\triangle$QRB,$\triangle$BCR,$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき,$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ.
(3) (2)のとき,直線CRと直線AQの交点をDとする.線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し,等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ.
(2) $\triangle$QRB,$\triangle$BCR,$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき,$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ.
(3) (2)のとき,直線CRと直線AQの交点をDとする.線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ.
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