次の問いに答えよ．
(1) $f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．
(ⅰ) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ⅱ) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．
(ⅰ) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ⅱ) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．