早稲田大学
2014年 基幹理工・創造理工・先進理工 第5問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に
放物線$C_1:y=x^2$,円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$
がある.$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わり,$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする.次の問に答えよ.
(1) $a$を求めよ.
(2) 点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$,$(1,\ a)$,$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする.そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$,$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする.このとき,${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ.
(3) $(2)$において,点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$,$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする.$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ.
(4) $(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$に対し,直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ.
放物線$C_1:y=x^2$,円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$
がある.$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わり,$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする.次の問に答えよ.
(1) $a$を求めよ.
(2) 点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$,$(1,\ a)$,$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする.そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$,$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする.このとき,${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ.
(3) $(2)$において,点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$,$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする.$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ.
(4) $(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$に対し,直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ.
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