慶應義塾大学
2014年 医学部 第3問
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以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい.また$(3) \ \tokeini$に答えなさい.
放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す.$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \ \ \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち,接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし,大きい方を$\ell_2$とする.また$\ell_1$,$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$とする.
(1) 接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=\fbox{あ}$,$m_2=\fbox{い}$である.
(2) $\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$,$L_2$とするとき,$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと \[ \left( \fbox{う},\ \fbox{え} \right) \] である.
(3) $\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$(ただし$0<\alpha<\pi$)となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す.
(ⅰ) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$\fbox{お}$である.
(ⅱ) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい.
(4) 点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき,点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$\fbox{か}$である.
放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す.$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \ \ \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち,接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし,大きい方を$\ell_2$とする.また$\ell_1$,$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$とする.
(1) 接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=\fbox{あ}$,$m_2=\fbox{い}$である.
(2) $\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$,$L_2$とするとき,$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと \[ \left( \fbox{う},\ \fbox{え} \right) \] である.
(3) $\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$(ただし$0<\alpha<\pi$)となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す.
(ⅰ) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$\fbox{お}$である.
(ⅱ) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい.
(4) 点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき,点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$\fbox{か}$である.
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