新潟大学
2012年 理系 第1問
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平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
によって定められる点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移す移動を考える.ここで,$a$は実数とする.楕円$C:x^2+4y^2=1$が与えられているとき,次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする.このとき$a$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は直線$\ell:Y=pX+q$上を動くとする.ただし$p,\ q$は実数とする.このとき$a$および$p,\ q$の値を求めよ.
(3) (2)において,点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$の$X$の最大値,最小値を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする.このとき$a$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は直線$\ell:Y=pX+q$上を動くとする.ただし$p,\ q$は実数とする.このとき$a$および$p,\ q$の値を求めよ.
(3) (2)において,点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$の$X$の最大値,最小値を求めよ.
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