広島大学
2012年 理系 第1問
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって,$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$,$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする.ただし,$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) $a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ.
(2) $4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{R}(a,\ c)$,$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$,$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき,次の式が成り立つことを証明せよ. \[ A \biggl( \begin{array}{c} b \\ -c \end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c} b \\ -c \end{array} \biggr) \]
(3) 自然数$n$に対して,$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を \[ \biggl( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 1 & -c \end{array} \biggr) \] で定める.このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ.
(1) $a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ.
(2) $4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{R}(a,\ c)$,$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$,$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき,次の式が成り立つことを証明せよ. \[ A \biggl( \begin{array}{c} b \\ -c \end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c} b \\ -c \end{array} \biggr) \]
(3) 自然数$n$に対して,$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を \[ \biggl( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 1 & -c \end{array} \biggr) \] で定める.このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ.
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