慶應義塾大学
2016年 環境情報学部 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の$4$つの箱があり,$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている.$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて,どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である($0<\alpha<1$).また,少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている.このとき,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後,$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は \[ \frac{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}{\fbox{$3$}\fbox{$4$}}+\frac{\fbox{$5$}\fbox{$6$}}{\fbox{$7$}\fbox{$8$}} \alpha \] である.
(2) $\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$の$4$つの箱があり,$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている.$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて,どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である($0<\alpha<1$).また,少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている.このとき,まず,$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し,次に,$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し,次に,$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後,$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は \[ \frac{\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}}{10000}+\frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}\fbox{$15$}}{1000} \alpha \] である.
(1) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の$4$つの箱があり,$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている.$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて,どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である($0<\alpha<1$).また,少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている.このとき,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後,$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は \[ \frac{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}{\fbox{$3$}\fbox{$4$}}+\frac{\fbox{$5$}\fbox{$6$}}{\fbox{$7$}\fbox{$8$}} \alpha \] である.
(2) $\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$の$4$つの箱があり,$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている.$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて,どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である($0<\alpha<1$).また,少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている.このとき,まず,$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し,次に,$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し,次に,$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後,$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は \[ \frac{\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}}{10000}+\frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}\fbox{$15$}}{1000} \alpha \] である.
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