立教大学
2014年 現代心理(心理)・コミュ(コミュ)・観光(交流)・経営 第3問
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実数$p \neq -1$に対し,$2$つの直線$\ell,\ m$と放物線$C$を
\[ \ell:y=-x+1,\quad m:y=px-p^3,\quad C:y=\frac{1}{4}x^2+qx+r \]
とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接しているとき,$r$を$q$の$2$次式で表せ.また,点$\mathrm{A}$の$x$座標を$q$を用いて表せ.
(2) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し,さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき,$q$を$p$の$2$次式で表せ.また,点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$を用いて表せ.
(3) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し,さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき,放物線$C$の頂点の$y$座標が最大になるような$p$の値を求めよ.
(4) $(1)$,$(2)$,$(3)$で定められる$p,\ q,\ r$に対して,点$\mathrm{A}$を通り$y$軸と平行な直線,点$\mathrm{B}$を通り$y$軸と平行な直線,$x$軸,および放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ.
(1) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接しているとき,$r$を$q$の$2$次式で表せ.また,点$\mathrm{A}$の$x$座標を$q$を用いて表せ.
(2) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し,さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき,$q$を$p$の$2$次式で表せ.また,点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$を用いて表せ.
(3) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し,さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき,放物線$C$の頂点の$y$座標が最大になるような$p$の値を求めよ.
(4) $(1)$,$(2)$,$(3)$で定められる$p,\ q,\ r$に対して,点$\mathrm{A}$を通り$y$軸と平行な直線,点$\mathrm{B}$を通り$y$軸と平行な直線,$x$軸,および放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ.
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