関西学院大学
2012年 文系学部 第2問
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次の文章中の$\fbox{}$に適する式または数値を記入せよ.
(1) $a,\ b$は実数とする.$x$についての整式 \[ F(x)=x^3+x^2+ax+b \] が$x+3$で割り切れるとすると,$b=\fbox{ア}$が成り立つ.ただし,$\fbox{ア}$は$a$の式である.$b=\fbox{ア}$を用いて$F(x)$の式から$b$を消去すると,$F(x)=\fbox{イ}$となる.整式$\fbox{イ}$を$x+3$で割ったときの商は$\fbox{ウ}$である.整式$\fbox{ウ}$が,さらに$x+3$で割り切れるとき,$a$の値は$a=\fbox{エ}$である.よって,整式$F(x)$が$(x+3)^2$で割り切れるとき,$a$と$b$の値は$a=\fbox{エ}$,$b=\fbox{オ}$である.
(2) 数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められるとする. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=3a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] $a_{n+1}=3a_n+2$は$a_{n+1}+1=\fbox{カ}(a_n+\fbox{キ})$と変形できる.よって$b_n=a_n+\fbox{キ} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,数列$\{b_n\}$は等比数列となり,その一般項は$\fbox{ク}$である.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$\fbox{ケ}$である.また,$s_1=2$,$s_{n+1}=4s_n+3 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で定められる数列$\{s_n\}$の一般項は$\fbox{コ}$である.
(1) $a,\ b$は実数とする.$x$についての整式 \[ F(x)=x^3+x^2+ax+b \] が$x+3$で割り切れるとすると,$b=\fbox{ア}$が成り立つ.ただし,$\fbox{ア}$は$a$の式である.$b=\fbox{ア}$を用いて$F(x)$の式から$b$を消去すると,$F(x)=\fbox{イ}$となる.整式$\fbox{イ}$を$x+3$で割ったときの商は$\fbox{ウ}$である.整式$\fbox{ウ}$が,さらに$x+3$で割り切れるとき,$a$の値は$a=\fbox{エ}$である.よって,整式$F(x)$が$(x+3)^2$で割り切れるとき,$a$と$b$の値は$a=\fbox{エ}$,$b=\fbox{オ}$である.
(2) 数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められるとする. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=3a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] $a_{n+1}=3a_n+2$は$a_{n+1}+1=\fbox{カ}(a_n+\fbox{キ})$と変形できる.よって$b_n=a_n+\fbox{キ} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,数列$\{b_n\}$は等比数列となり,その一般項は$\fbox{ク}$である.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$\fbox{ケ}$である.また,$s_1=2$,$s_{n+1}=4s_n+3 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で定められる数列$\{s_n\}$の一般項は$\fbox{コ}$である.
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