東京海洋大学
2014年 海洋工 第2問
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$a \neq 1$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-a^2 & 2a
\end{array} \right)$とする．
(1) $E-A$の逆行列$B$を求めよ．ただし$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$とする．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して， \[ E+A+A^2+\cdots +A^n=B(E-A^{n+1}) \] となることを示せ．
(3) $A^n=\left( \begin{array}{cc} -(n-1)a^n & na^{n-1} \\ -na^{n+1} & (n+1)a^n \end{array} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を数学的帰納法を用いて示せ．
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n ka^{k-1}$を求めよ．
(1) $E-A$の逆行列$B$を求めよ．ただし$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$とする．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して， \[ E+A+A^2+\cdots +A^n=B(E-A^{n+1}) \] となることを示せ．
(3) $A^n=\left( \begin{array}{cc} -(n-1)a^n & na^{n-1} \\ -na^{n+1} & (n+1)a^n \end{array} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を数学的帰納法を用いて示せ．
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n ka^{k-1}$を求めよ．
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