東京海洋大学
2012年 海洋科学 第5問
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空間内に三角形$\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$とがある．点$\mathrm{P}$が$S$上のすべての点を動くときの$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値，最小値をそれぞれ$M,\ m$とするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\mathrm{OG}>1$をみたすものとする．
(1) $M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2) $\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．
(1) $M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2) $\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．
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