東京海洋大学
2012年 海洋科学 第4問
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$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x$として数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{4}{3},\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，次の問に答えよ．
(1) $f(x)$は区間$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$で減少することを示せ．
(2) $\displaystyle \frac{4}{5} \leqq a_n \leqq \frac{4}{3} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3) $\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{9}{25} \right)^{n-1} \leqq |a_n-1| \leqq \frac{1}{3} \left( \frac{9}{16} \right)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(1) $f(x)$は区間$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$で減少することを示せ．
(2) $\displaystyle \frac{4}{5} \leqq a_n \leqq \frac{4}{3} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3) $\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{9}{25} \right)^{n-1} \leqq |a_n-1| \leqq \frac{1}{3} \left( \frac{9}{16} \right)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
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