東京海洋大学
2011年 海洋工 第1問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
4 & 1
\end{array} \right)$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right)$，$\displaystyle p_n=\frac{a_n}{c_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．
(1) 数学的帰納法を用いて，$a_n=d_n$および$b_n=c_n$が成り立つことを示せ．
(2) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle q_n=\frac{1}{p_n-1}$とおくとき，$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ．
(4) 数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1) 数学的帰納法を用いて，$a_n=d_n$および$b_n=c_n$が成り立つことを示せ．
(2) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle q_n=\frac{1}{p_n-1}$とおくとき，$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ．
(4) 数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
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