東京海洋大学
2011年 海洋科学 第5問
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数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left( p+\frac{k}{n} \right)^2 \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定める．ただし，$p$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) すべての実数$p$に対して，$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{12} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle p=\frac{5}{3}$のとき，$a_n<5$となる最小の$n$の値を求めよ．
(1) すべての実数$p$に対して，$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{12} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle p=\frac{5}{3}$のとき，$a_n<5$となる最小の$n$の値を求めよ．
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