東京海洋大学
2016年 海洋工 第1問
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![数列{a_n},{b_n}を以下で定める.a_1=2,b_1=1{\begin{array}{l}a_{n+1}=2a_n+3b_n\b_{n+1}=a_n+2b_n\end{array}.(n=1,2,3,・・・)(1)n=1,2,3,・・・について,a_n+√3b_n={(2+√3)}^na_n-√3b_n={(2-√3)}^nが成り立つことを示せ.(2)\frac{b_n}{a_n}をnを用いて表せ.(3)数列{e_n}をe_n=\frac{√3b_n}{a_n}-1(n=1,2,3,・・・)で定めるとき,n≧3ならば|e_n|<0.001であることを示せ.ただし,0.071<\frac{2-√3}{2+√3}<0.072を用いてもよい.](./thumb/181/2219/2016_1.png)
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下で定める.
$a_1=2,\quad b_1=1$
$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=2a_n+3b_n \\ b_{n+1}=a_n+2b_n \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,
$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$
$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$
が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ.
(3) 数列$\{e_n\}$を \[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定めるとき,$n \geqq 3$ならば \[ |e_n|<0.001 \] であることを示せ.ただし,$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい.
$a_1=2,\quad b_1=1$
$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=2a_n+3b_n \\ b_{n+1}=a_n+2b_n \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,
$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$
$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$
が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ.
(3) 数列$\{e_n\}$を \[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定めるとき,$n \geqq 3$ならば \[ |e_n|<0.001 \] であることを示せ.ただし,$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい.
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