近畿大学
2013年 文系 第2問
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空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$,$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$,$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$,$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$,内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キ}}$,内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}}$である.
(2) 線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$,線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする.$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] であり,したがって \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{\fbox{チツ}}}{\fbox{テ}} \] となる.また, \[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニヌ}} \] である.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$,内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キ}}$,内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}}$である.
(2) 線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$,線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする.$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] であり,したがって \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{\fbox{チツ}}}{\fbox{テ}} \] となる.また, \[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニヌ}} \] である.
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