近畿大学
2014年 医学部 第3問
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$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標,$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$,$\mathrm{P}_y$と書く.$\mathrm{P}_x$,$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という.次の問に答えよ.
(1) 原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある.線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ.ただし両端$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする.
(2) $\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ.
(3) $n$を正の整数とする.$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える.格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく.また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$,$n$が奇数のとき$m_3$とする.$m_1$,$m_2$,$m_3$を$n$の式で表せ.ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し,降べきの順(次数の高い順)に書くこと.
(1) 原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある.線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ.ただし両端$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする.
(2) $\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ.
(3) $n$を正の整数とする.$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える.格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく.また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$,$n$が奇数のとき$m_3$とする.$m_1$,$m_2$,$m_3$を$n$の式で表せ.ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し,降べきの順(次数の高い順)に書くこと.
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