お茶の水女子大学
2016年 理(数学科) 第4問
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![サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う.(1)サイコロを1回だけ振ることができるときの得点の期待値E_1を求めよ.(2)サイコロを2回まで振ることができるとき,1回目にm以上の目が出たらそこでやめ,mより小さい目が出たら2回目を振ることにする.このときの得点の期待値E_2(m)をmを用いて表し,E_2(m)が最大となるmを求めよ.(3)nを2以上の自然数,m_1,・・・,m_{n-1}を6以下の自然数とする.n回までサイコロを振ることができるとき,i回目にm_{n-i}以上の目が出たらそこでやめ,m_{n-i}より小さい目が出たらi+1回目を振るという規則でサイコロを振り続ける.ただし,n回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値をE_n(m_1,・・・,m_{n-1})とする.以下の問いに答えよ.(i)E_3(m_1,m_2)をE_2(m_1),m_2を用いて表し,E_3(m_1,m_2)が最大となるm_1,m_2とそのときのE_3(m_1,m_2)の値を求めよ.(ii)n≧4とする.E_{n-1}(m_1,・・・,m_{n-2})の最大値をe_{n-1}とすると,E_n(m_1,・・・,m_{n-1})が最大となるのは,E_{n-1}(m_1,・・・,m_{n-2})がe_{n-1}となり,かつm_{n-1}がe_{n-1}以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.ただし,得点がkとなる確率をp(k)としたとき,p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6)を得点の期待値とよぶ.](./thumb/177/2316/2016_4.png)
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サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う.
(1) サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ.
(2) サイコロを$2$回まで振ることができるとき,$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ,$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする.このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し,$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ.
(3) $n$を$2$以上の自然数,$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする.$n$回までサイコロを振ることができるとき,$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ,$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける.ただし,$n$回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$,$m_2$を用いて表し,$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ.
(ⅱ) $n \geqq 4$とする.$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると,$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは,$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり,かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.
ただし,得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき, \[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \] を得点の期待値とよぶ.
(1) サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ.
(2) サイコロを$2$回まで振ることができるとき,$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ,$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする.このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し,$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ.
(3) $n$を$2$以上の自然数,$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする.$n$回までサイコロを振ることができるとき,$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ,$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける.ただし,$n$回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$,$m_2$を用いて表し,$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ.
(ⅱ) $n \geqq 4$とする.$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると,$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは,$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり,かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.
ただし,得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき, \[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \] を得点の期待値とよぶ.
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