香川大学
2015年 工学部 第1問
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図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする.$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$,辺$\mathrm{GF}$上の点とする.$\mathrm{AR}=r$,$\mathrm{GS}=s$,$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき,次の問に答えよ.
\imgc{665_2851_2015_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{MR}}$,$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を,それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ.
(2) $\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき,$r$と$s$の値を求めよ.
(4) $\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{MR}}$,$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を,それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ.
(2) $\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき,$r$と$s$の値を求めよ.
(4) $\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ.
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