香川大学
2011年 医学部 第1問
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放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$(ただし,$a^2<b$)を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とする.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし,} \ \alpha < \beta)$とする.$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき,次の問に答えよ.
(1) $S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(2) $S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする.(2)のとき,線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ.
(4) (2)のとき,点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ.
(1) $S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(2) $S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする.(2)のとき,線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ.
(4) (2)のとき,点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ.
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