山口大学
2012年 理(数理科学)・医 第2問
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![平面上に異なる2点A,Bがある.Aを通る直線ℓ_1,ℓ_2,ℓ_3\\とBを通る直線m_1,m_2,m_3が図のように交わっており,\\直線ℓ_1とm_1の交点をP,ℓ_2とm_2の交点をQ,ℓ_3とm_3の\\交点をRとする.ただし,ℓ_1とℓ_3,ℓ_2とℓ_3,m_1とm_2,m_2\\とm_3のなす角はすべてπ/3であり,0<∠PAB<π/3,\\0<∠PBA<π/3である.α=∠PAB,β=∠PBAとして,次の問いに答えなさい.\img{650_2779_2012_1}{45}(1)∠APB+∠AQBを求めなさい.(2)5点A,Q,R,B,Pが同一円周上にあることを示しなさい.(3)5点A,Q,R,B,Pを通る円の半径が1であるとき,五角形AQRBPの面積をsinα,sinβ,sin2α,sin2βを用いて表しなさい.](./thumb/650/2783/2012_2.png)
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平面上に異なる2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$がある.$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$ \\
と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1,\ m_2,\ m_3$が図のように交わっており, \\
直線$\ell_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}$,$\ell_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}$,$\ell_3$と$m_3$の \\
交点を$\mathrm{R}$とする.ただし,$\ell_1$と$\ell_3$,$\ell_2$と$\ell_3$,$m_1$と$m_2$,$m_2$ \\
と$m_3$のなす角はすべて$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であり,$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PAB}<\frac{\pi}{3}$, \\
$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PBA}<\frac{\pi}{3}$である.$\alpha=\angle \mathrm{PAB}$,$\beta=\angle \mathrm{PBA}$として,次の問いに答えなさい.
\img{650_2779_2012_1}{45}
(1) $\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい.
(2) 5点$\mathrm{A}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい.
(3) 5点$\mathrm{A}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき,五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$,$\sin \beta$,$\sin 2 \alpha$,$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい.
(1) $\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい.
(2) 5点$\mathrm{A}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい.
(3) 5点$\mathrm{A}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき,五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$,$\sin \beta$,$\sin 2 \alpha$,$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい.
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